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标题: 二重积分知识点总结 [打印本页]

作者: g007 时间: 2014-9-19 13:36
标题: 二重积分知识点总结

重积分知识点总结万学教育海文考研  教学与研究中心王丹

延续往年的原则，考研命题一般不出偏题、怪题、超纲题目，而是以考察基本概念、基本理论和基本方法为主，所以大家放心复习，努力就一定会有更大的收获，更好的成绩。下面我就高等数学重要知识点——二重积分在考研中的命题规律，题型，例题等方面给大家进行总结，希望能给你带去更大的帮助。
二重积分这部分内容主要考查二重积分的计算，其中数二、数三每年都会考一道有关二重积分的大题，三重积分只对数一要求，多以计算题为主. 另外，对于数一的考生来讲，偶尔还会涉及二重积分、三重积分的应用，例如求重心坐标、形心坐标、质心、转动惯量等.
题型一  交换积分次序与累次积分的转换.
做这类题的一般步骤是：（1）确定二次积分是哪一个二重积分所转化成的二次积分；（2）由二次积分的上、下限写出积分区域D的不等式组；（3）画出积分区域D的草图；（4）根据图形写出另一积分次序的二次积分.
2012年数三第（3）题就是如此.
设函数连续，则二次积分 ( )
(A)  .    (B)  .
(C)  .    (D)  .
解析：由，可知积分区域在第一象限，由，可知

故 ,所以选项(B)正确.
题型二  二重积分的计算
在计算二重积分时，很多时候都要考虑被积函数的奇偶性与积分区域的对称性，以达到简化计算的目的. 具体地说，就是下面一些结论.
（1）若积分区域关于轴对称，且被积函数是关于的奇函数（即满足），则 .
（2）若积分区域关于轴对称，且被积函数是关于的偶函数（即满足），则，
其中是位于轴上半平面的部分.
（3）若积分区域关于直线对称，则
.
下面结合一个例子进行说明.
例  设函数在上连续，计算二重积分
，
其中是由曲线与直线及所围成的区域.



解  用曲线段（）及直线段（）、（）把区域分成四个小区域、、、（如右图所示）. 根据积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，有

。
201年真题：设平面区域由直线及围成，计算
解

， .
故

作者: tata2015 时间: 2014-10-19 16:08

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